O último Testamento Matemático de Évariste Galois
Galois (pronunciado “ɡælˈwɑ” ou de forma mais simples Galoà) foi um matemático de vida prematura, morrendo aos 20 anos mais deixando um legado imenso à teoria dos grupos e a outros tópicos da época.
Nascido em Bourg-la-Reine em 25 de Outubro de 1832, começou a estudar no Lycée of Louis-le-Grand na infância e tentou entrar na École Polytechnique (era uma das melhores da época)na adolescência, mas falhou.
Nesse meio tempo ele já estudava vários temas avançado por conta própria. Lendo a Éléments de géométrie algébrique de Legendre, as obras de Lagrange, Laplace, o último artigo de Niels Abel, entre outras.
Por fim ele decidiu entrar na École Polytechnique pela segunda vez, mas seu pai tirou a própria vida algumas semanas atrás, parece que um sacerdote local ter forjado epigramas forjados contra a sua família, e o estado da França na época após a queda de Napoleão em 1815 e agora com o Charles X como rei e ações contra republicanos como o pai de Galois pode ter influenciado a decisão.
Então veja o estado que ele deve estar nesse exame, e ainda ele falhou nesse teste para entrar na universidade, os examinadores disseram que não entenderam bem o teorema que ele apresentou (talvez difícil demais para eles).
Assim ele entrou para a École Normale (que era recente e não tão famosa ainda na época mais depois se tornou melhor que a École Polytechnique em exatas) e assim obteve seu diploma.
Mas parece que seus professores e colegas não entendiam as suas ideias, mas mesmo assim ele continuou se esforçando em sua pesquisa e a refinando.
Depois de submeter um paper a Augustin-Louis Cauchy (do Teorema de Cauchy na teoria dos grupos), o mesmo dá umas dicas para ele organizar as suas ideias no texto e a publicar 3 artigos dos 5 que Galois publicou em sua vida.
Com as crescentes rebeliões que dariam ordem a Revolução francesa, em Julho de 1830 em um desses motins, Galois até tentou participar tendo fortes ideais revolucionários, mas conseguiu apenas enviar uma carta contra o Diretor, M. Guigniault, que o expulsou em seguida.
Galois agora estava sem faculdade, sem grana, sem pai e mãe, tinha seus amigos e seu irmão, estava na merda, sendo sincero.
Sophie Germain, a brilhante matemática francesa, que conseguiu o impossível de ser uma mulher matriculada em uma universidade, que era algo quase impossível na época.
Fala sobre Galois, que depois da morte de Joseph Fourier, e a sua expulsão da faculdade, uns diziam que ele ia ficar louco, e parece que ela tinha essa percepção também.
Em 9 de maio de 1831, ele foi preso na Sainte-Pélagie prison por falar merda em público do atual rei Louis-Phillipe.
Após sair da prisão durante uma epidemia de Cólera em 1832, Galois (infelizmente) se apaixona por uma moça chamada Stephanie-Felice du Motel provavelmente, e se envolve em um duelo até a morte por sua amada.
Antes deste mísero duelo que tirou sua vida com o tiro de uma pistola, ele escreve a carta abaixo às pressas, na noite antes da sua morte.
No final ele chega a dizer ao seu irmão Auguste na carta:
“Mas eu não tenho tempo, e minhas ideias não estão ainda bem desenvolvidas nesta área, que é imensa.”
Ele pede a ele que a entregue alguns dos principais matemáticos da época, Carl Friedrich Gauss e Carl Gustav Jacob, para publicação e continua:
“Depois disto, eu espero que as pessoas vão se beneficiar depois de decifrar toda essa bagunça.”
No fim, outro matemático chamado Joseph Liouville publica a carta em Setembro de 1832 e os outros 4 artigos de Galois em 1846 no Journal de Mathématiques pures et appliquées.
Que continham o:
- Sur la théorie des nombres (Sobre a teoria dos Números)
- ‘Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux’ (As condições da resolução de equações usando radicais), conhecido como Premier Mémoire. Que foi rejeitado.
- ‘Des équations primitives qui sont solubles par radicaux’ (Sobre as equações primitivas que podem ser resolvidas por radicais), o Second Mémoire. Que desenvolve já a teoria dos grupos baseados na obra de Niels Abel talvez.
- E por fim a Carta publicada na Revue encyclopédique.[5]
Em resumo, Galois foi um gênio não compreendido na época, talvez por ser meio esquentadinho e não saber explanar suas ideias.
Ainda sim a teoria de grupos de Galois é extremamente importante para a física teórica, aplicações na física quântica, que contém inúmeras simetrias que são compatíveis com essa teoria.
Para a Química e genética, ambas que possuem comportamentos simétricos abelianos e não-abelianos, que se beneficiam do desenvolvimento dessa obra de arte.
É legal ver que Galois sabia do trabalho de Niels Abel, é como se as duas jovens estrelas da frança apagassem juntas no requiem que se ascende às vésperas da Revolução francesa.
Abaixo está uma tradução que eu fiz de um artigo indiano de 1999 que estava em inglês, espero que mostre o talento e arte do verdadeiro gênio indomável de Galois.
Tradução do inglês, publicado por Anita R Singh, Foreign languages Section and C S Yogananda, MO CeIlINBHM), Department of Mathematics, Bangalore 56012, India.
(Fonte: https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100)
As partes em negrito são para o texto não ficar pesado para ler.
Meu Caro amigo,
Eu andei analisando várias novas ideias. Uma relacionada a teoria das equações; a outra, sobre funções integrais.
Sobre a teoria das Equações, eu tenho estudado em quais casos as equações são resolvidas por radicais, os quais são providenciados à mim como uma oportunidade de explorar essa teoria a fundo e descrever todas as possíveis transformações na equação, até quando não é possível a resolver usando radicais.
Tudo isto pode ser examinado em 3 artigos.
O primeiro foi escrito, e, embora o que Poisson [1] disse sobre, ainda sim eu a mantenho, com algumas correções que eu tenho indicado.
O segundo contém algumas aplicações até que interessantes sobre a teoria das equações. Isto é um sumário das que são mais importantes:
- De acordo com as proposições II e III do primeiro artigo, dá pra ver uma diferença bem grande adjacente, à uma equação, uma das raízes ou todas as raízes de uma equação auxiliar.
Em ambos os casos, o grupo da equação pode ser dividido por uma adjacente em grupos tais que fica possível passar de um para o outro através de uma autotransformação; mas a condição necessária para que esses grupos tenham as mesma substituições só se mantém no segundo caso. Isso é chamado propriamente de decomposição.
Em outras palavras, quando um grupo G contém outro, H, o grupo G pode ser dividido em grupos em que cada um deles é obtido através de operar uma autotransformação em permutações em H, tais que,
E nós podemos também os dividir em grupos que possuem substituições similares, tais que
Esses dois tipos de decomposições geralmente não coincidem. Quando elas se coincidem a decomposição é chamada de própria.
É fácil ver, quequando o grupo de uma equação não é suscetível a qualquer decomposição própria, nós poderíamos entretanto, ter transformado essa equação, os grupos de equações transformadas terão sempre o mesmo número de permutações.
Ao contrário, quando o grupo de uma equação é suscetível à uma decomposição própria de tal modo que nós possamos decompor ela em M grupos de N permutações, nós podemos resolver essa equação através de duas equações: uma vai ter um grupo de M permutações e a outra, de N permutações.
Assim, quando nós tivermos exaurido todas as possibilidades de usar decomposições próprias no grupo de uma equação, nós chegamos a grupos que podem ser transformados mas para os quais o número de permutações sempre será o mesmo.
Se cada um destes grupos tem um número primo de permutações, então a equação pode ser resolvida através de radicais; senão, não é possível.
O menor número de permutações que um grupo indecomponível pode ter, quando este número não é primo, é 5, 4 ou 3.
2. As decomposições mais simples são aquelas que foram tratadas pelo método de Gauss. [2]
Como essas decomposições são evidentes, até na forma presente do grupo da equação, não é necessário passar mais tempo nesse assunto.
Quais decomposições são possíveis em uma equação que não pode ser simplificada pelo método de Gauss?
Eu chamei as equações que não podem ser simplificadas através do método de Gauss de primitivas; não que essas equações não são realmente indecomponíveis já que elas podem ser, talvez, resolvidas usando radicais.
Assim como um lema para a teoria de equações primitivas resolvidas por radicais, eu tenho lidado com isso em Junho de 1830, no Bulletin de Ferussac, uma análise de números imaginários na teoria dos números.
Alguém pode uma prova dos seguintes teoremas:
- Para uma equação primitiva ser resolvida através de radicais, ela deve ser de expoente p^v , p sendo primo.
- Todas as permutações de tal equação são de forma
K, l, m, sendo índices v, os quais, cada um tendo p valores, denotam todas as raízes. Os índices são obtidos através de modulo p; isso quer dizer, as raízes serão as mesmas quando um múltiplo de p ser adicionado ao índice.
O grupo que obtemos através da operação de todas as substituições dessa forma linear contém, em tudo,
permutações.
Está longe de ser verdade que nessa generalidade, as equações que eles representam serão resolvíveis através de radicais.
A condição que eu indiquei no Bulletin de Ferussac para uma equação que pode ser resolvida através de radicais é bem restrita; existem algumas poucas exceções, mas elas existem.
A última aplicação da teoria das equações é relacionada à equação modular de funções elípticas.
Nós mostramos que o grupo da equação, a qual têm raízes para o seno da amplitude de p²- 1 divisões é:
nas quais k/l pode ter p + 1 valores,
Assim, mas concordando que k pode ser infinito, nós podemos simplesmente escrever
Dados os valores de a,b,c, d todos os valores, nós obtemos (p+1)p(p-1) permutações.
Agora esse grupo é indecomponível propriamente em dois grupos, pelos quais as substituições são
ad- bc sendo um resíduo quadrático de p.
O grupo assim, pode ser simplificado por
permutações.
Mas é fácil ver que não é possível o decompor propriamente ainda mais, à não ser que p = 2 ou p=3.
Assim, de qualquer forma que nós transformarmos a equação, este grupo sempre terá o mesmo número de permutações.
Mas é curioso saber se o grau pode ser reduzido.
E primeiramente ele não pode ser reduzido a menos do que p, já que uma equação de grau menor que p não pode ter p como um fator do número de permutações dentro do grupo.
Portanto, vamos ver se a equação de grau p + 1, para qual todas as raízes Xk são obtidas dando ao k todos os valores, incluindo o infinito e para o qual o grupo de substituições
ad- bc sendo ao quadrado, podem ser reduzidas ao grau p.
Mas para isso, o grupo deveria ser decomposto (impropriamente, assim é entendido) em p grupos de (p+1)(p-1)/ 2 permutações cada.
Sendo 0 e ∞ são duas letras relacionadas um destes grupos. As substituições que não permutam 0 e ∞ serão da forma
Assim se M ser a letra associada a 1, a letra associada a m² será m²M. Quando M ser quadrado, nós teremos então M² = 1. Mas essa simplificação é possível somente para p = 5.
Para p = 7 nós achamos um grupo de (p+1)(p-1)/2 permutações, onde
são respectivamente relacionados à
Este grupo substituições da forma
b sendo a letra correspondente a c, e a a letra na qual o resíduo ou não-resíduo de acordo com c.
Para p = 11, as mesmas substituições dão lugar com as mesmas notações,
são respectivamente relacionadas a
Assim, para o caso de p = 5, 7, 11, a equação modular é reduzida ao grau p.
Em todo o seu rigor, essa redução não é possível em casos maiores.
O terceiro paper fala sobre Integrais.
Nós sabemos que a soma dos termos da mesma função elíptica é sempre reduzida a um termo mais as quantidades algébrica e logarítmicas.
Não existem outras funções em que essa propriedade permanece.
Mas, propriedades similares permanecem se nós substituímos em toda a parte, integrais de funções algébricas.
Nós tratamos ao mesmo tempo todas as integrais pelas quais a diferencial é uma função da variável e de uma função irracional similar de uma variável, seja se esse irracional é ou não é um radical, seja se pode ser expressada ou não por radicais.
Nós achamos que o número de períodos distintos das integrais mais gerais relacionadas a uma irracional dada é sempre um número par.
Sendo 2n esse número nós temos o seguinte teorema:
Uma soma arbitrária de termos reduzida para n termos, mais quantidades algébricas e logarítmicas.
As funções do primeiro tipo são aquelas que a parte algébrica e logarítmica é zero.
Existem n distintas dessas.
As funções do segundo topo são aquelas que a parte complementar é puramente algébrica.
Existem n distintas dessas.
Nós podemos supor que as diferenciais de outras funções nunca são infinitas mas apenas para x = a, e ainda mais, que sua parte complementar é reduzida à apenas um logaritmo, log P, P sendo uma quantidade algébrica. Denotando essas funções por Π(x, a) nós temos o teorema
φa e ψx sendo funções do primeiro e segundo tipo.
Nós deduzimos disto, chamando Π(x, a) e ψ os períodos de Π(x, a) e ψx relacionados à uma revolução similar de x,
Assim, os períodos das funções de terceiro tipo sempre podem ser expressadas como funções de primeiro e segundo tipo.
Nós podemos também deduzir teoremas análogos ao teorema de Legendre
A redução das funções de terceiro tipo para integrais definidas, que são a descoberta mais bela de Jacobi, não são praticáveis fora no caso de funções elípticas.
A multiplicação das funções integrais por um número natural sempre é possível, como adição, por meio de uma equação de graus n, no qual as raízes são valores a serem substituídos na integral para reduzir os termos.
A equação que dá a divisão dos períodos em p partes iguais é de grau P²^n-1. Todo o seu grupo tem
permutações.
A equação que dá a divisão da soma de n termos em p partes é de grau P²^n-1. Pode ser resolvida usando radicais.
Sobre a transformação. Podemos, primeiramente, seguindo um raciocínio análogo ao que Abel [3]colocou no seu último artigo, provam que se, em uma relação similar entre integrais, nós temos as duas funções
a última integral tendo 2n períodos, alguém vai se permitir supor que y e Y são expressados por meio de uma equação singular de grau n como uma função de x e de X.
De acordo com isto, nós podemos supor que as transformações tomam lugar constantemente entre apenas duas integrais, já que uma obviamente vai ter, pegando uma função racional arbitrária de y e de Y
É possível que essa equação vai ter reduções nos casos em que para integrais de um ou de outro, não parece ser possível que ambos tenham o mesmo número de períodos.
Assim, nós podemos apenas comparar integrais das quais temos o mesmo número de períodos.
Nós iremos provar que o menor grau de irracionalidade de duas integrais similares não pode ser maior de uma para a outra.
Nós iremos mostrar então, que nós podemos sempre transformar uma integral dada em outra em que um período da primeira é divisível pelo número primo p, e a outra 2n-1 continua a mesma.
Assim o que permanece para compararmos são apenas integrais, as quais os períodos são os mesmos em ambos os lados e consequentemente tais que os N termos de uma expressão por si mesmos sem qualquer outra equação mas apenas do grau n, por meio daqueles do outro de forma conversiva. Aqui nós não sabemos nada.
Epílogo:
Você sabe, meu caro Auguste, que esses não são os únicos que eu explorei. Minhas principais meditações, por algum tempo agora, foram dirigidas na aplicação da teoria da ambiguidade para análise transcendental. Foi visto, a priori, que em uma relação entre quantidades ou funções transcendentais, a troca pode ser feita, que quantidades nós podemos substituir para as dadas quantidades, sem mudar a relação[4].
Isto faz alguém reconhecer imediatamente diversas expressões que alguém pode procurar por. Mas eu não tenho tempo, e minhas ideias não estão ainda bem desenvolvidas nesta área, que é imensa.
Você deve pegar essa Carta já impressa à Revue Encyclopedique.
Eu tenho frequentemente desafiado minha vida avançar as proposições das quais não estou certo, mas tudo que eu escrevi tem estado na minha mente há um ano, e não vai ser muito do meu interesse cometer erros de forma que alguém suspeite de eu ter anunciado teoremas dos quais eu não tenho uma prova completa.
Você deve fazer uma petição pública para Jacobi e Gauss para eles dares uma opinião, não como verdade mas com reação a importância desses teoremas.
Depois disto, eu espero que as pessoas vão se beneficiar depois de decifrar toda essa bagunça.
E.Galois , 29 de Maio 1832.
Tradução do inglês, publicado por Anita R Singh, Foreign languages Section and C S Yogananda, MO CeIlINBHM), Department of Mathematics, Bangalore 56012, India.
(Fonte: https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100)
Referências:
- Siméon Denis Poisson, um dos grande matemáticos da época de Galois na frança, uma das suas criações mais populares foi a Distribuição de Poisson, usada como método de calcular a probabilidade de uma hipótese em uma distribuição de dados, como na genética, Mendel por exemplo usou na sua investigação sobre hereditariedade e Satoshi Nakamoto usou no seu paper para provar a segurança da rede Bitcoin, a blockchain.
- Carl Friedrich Gauss foi um famoso matemático e físico contemporâneo de Galois. Dedicado a Astronomia, cálculo do movimentos de corpos celestes, provou o último teorema de Fermat, a conjectura de Kepler que também era um astrônomo, várias contribuições na geometria e magnetismo, além de ser aquele a orientar por um tempo Sophie Germain, uma das primeiras mulheres na matemática francesa, conhecida pela sua teoria sobre Elasticidade e amor a arte dos números.
- Niels Abel foi um matemático com uma vida trágica como a de Galois, ele viveu até os 26 de uma doença (2 anos antes da morte de Galois), mas conseguiu até que publicar mais obras e provar que equações de grau maiores que 5 não poderiam ser resolvidas (assim como Galois)
Assim ele é também importante para a teoria dos grupos, sendo que grupos que tem operadores que comutam como por exemplo a * b = b*a são chamados de abelianos e o contrário destes os não-abelianos em homenagem a ele.
É legal ver que Galois sabia do trabalho de Niels Abel, é como se as duas jovens estrelas da frança apagassem juntas no requiem que se ascende às vésperas da Revolução francesa.
4. Assim ele indica a Simetria que pode ser vista em funções integrais periódicas, que podem ser aplicadas a grupos geométricos distintos.
5. Neumann, P.M. (2012). The editors and editions of the writings of Évariste Galois. Historia Mathematica, 39, 211–221.
6. Adlaj, S., & Control”, M.R. (2018). On the second memoir of Évariste Galois’ last letter.
